Introdução aos números inteiros
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2;
-5 é antecessor de -4
0 é antecessor de 1
-1 é sucessor de -2
Simetria no conjunto Z
Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder;
O oposto de perder é ganhar;
O oposto de 3 é -3
O oposto de 5 é -5
Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que:
Sinais Resultado
iguais produto de inteiros é positivo
diferentes produto de inteiros é negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
n vezes
Exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.
Radiciação de números inteiros
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b = Rn[a] <=> a = bn
Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:
Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?
2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do minuendo?
3. O produto de dois números é 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores?
4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?
5. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?
6. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?
7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?
8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?
9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina?
10. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?
11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?
12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?
Gabarito
1. 82
2. 206
3. 20 e 31
4. 167
5. R$ 930,00
6. 4.256.000
7. R$ 1.440
8.
9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 48
10. Marta: R$ 110,00, Marisa: R$ 90,00 e Yara: R$ 75,00
11. R$ 622,00
12. Renato: 15 e Flávia: 8
Tipologia textual é a forma como um texto É ESCRITO.
As tipologias existentes são:
descrição, narração, dissertação, exposição, injunção e diálogo
Descrição
Texto em que se retrata por escrito alguma coisa, seja um lugar, uma pessoa, um animal ou um objeto. A classe de palavras mais utilizada nessa produção é o adjetivo, por caracterizar a coisa sobre a qual falamos. De forma abstrata, pode-se até descrever sensações ou sentimentos. Não há relação de anterioridade e posterioridade.
Observe:
A moça tinha ombros curvos como os de uma cerzideira. Aprendera em pequena a cerzir. Ela se realizaria muito mais se se desse ao delicado labor de restaurar fios, quem sabe se de seda. Ou de luxo: cetim bem brilhoso, um beijo de almas. Cerzideirinha mosquito. Carregar em costas de formiga um grão de açúcar. Era ela de leve como uma idiota, só que não o era. Não sabia que era infeliz. É porque ela acreditava. Em quê? Em vós, mas não é preciso acreditar em alguém ou em alguma coisa - basta acreditar. Isso lhe dava às vezes estado de graça. Nunca perdera a fé.
Narração
Texto em que se conta um acontecimento, um fato, real ou fictício, que ocorreu num determinado tempo e lugar, envolvendo certas pessoas chamadas de PERSONAGENS. Há uma relação de anterioridade e posterioridade. O tempo verbal predominante é o passado.
Observe:
O jogo estava empatado e os torcedores pulavam e torciam sem parar. Os minutos finais eram decisivos, ambos precisavam da vitória, quando de repente o juiz apitou uma penalidade máxima.
O técnico chamou Neco para bater o pênalti, já que ele era considerado o melhor batedor do time.
Neco dirigiu-se até a marca do pênalti e bateu com grande perfeição. O goleiro não teve chance. O estádio quase veio abaixo de tanta alegria da torcida.
Dissertação
Texto com posicionamentos e idéias pessoais. A base da dissertação é a argumentação, de forma lógica e coerente a fim de defender um ponto de vista. Presença de estrutura básica: apresentação da idéia principal, argumentos, conclusão. Utiliza verbos na 1ª e 3ª pessoas do presente do indicativo (Para Vestibulares, usa-se a terceira pessoa).
Observe:
A posição social da mulher de hoje
Ao contrário de algumas teses predominantes até bem pouco tempo, a maioria das sociedades de hoje já começam a reconhecer a não existência de distinção alguma entre homens e mulheres. Não há diferença de caráter intelectual ou de qualquer outro tipo que permita considerar aqueles superiores a estas.
Com efeito, o passar do tempo está a mostrar a participação ativa das mulheres em inúmeras atividades. Até nas áreas antes exclusivamente masculinas, elas estão presentes, inclusive em posições de comando. Estão no comércio, nas indústrias, predominam no magistério e destacam-se nas artes. No tocante à economia e à política, a cada dia que passa, estão vencendo obstáculos, preconceitos e ocupando mais espaços.
Cabe ressaltar que essa participação não pode nem deve ser analisada apenas pelo prisma quantitativo. Convém observar o progressivo crescimento da participação feminina em detrimento aos muitos anos em que não tinham espaço na sociedade brasileira e mundial.
Muitos preconceitos foram ultrapassados, mas muitos ainda perduram e emperram essa revolução de costumes. A igualdade de oportunidades ainda não se efetivou por completo, sobretudo no mercado de trabalho. Tomando-se por base o crescimento qualitativo da representatividade feminina, é uma questão de tempo a conquista da real equiparação entre os seres humanos, sem distinções de sexo.
Exposição
Texto que traz informações sobre assuntos, expõe idéias; explica, avalia, reflete. Sua estrutura básica é formada por: idéia principal, desenvolvimento, conclusão. Faz uso de linguagem clara, objetiva e impessoal. A maioria dos verbos está empregada no presente do indicativo.
Observe:
O telefone celular
A história do celular é recente, mas remonta aopassado –– e às telas de cinema. A mãe do telefone móvel é a austríaca Hedwig Kiesler (mais conhecida pelo nome artístico Hedy Lamaar), uma atriz de Hollywood que estrelou o clássico Sansão e Dalila (1949). Hedy tinha tudo para virar celebridade, mas pela inteligência. Ela foi casada com um austríaco nazista fabricante de armas. O que sobrou de uma relação desgastante foi o interesse pela tecnologia. Já nos Estados Unidos, durante a Segunda Guerra Mundial, ela soube que alguns torpedos teleguiados da Marinha haviam sido interceptados por inimigos. Ela ficou intrigada com isso, e teve a idéia: um sistema no qual duas pessoas podiam se comunicar mudando o canal, para que a conversa não fosse interrompida. Era a base dos celulares, patenteada em 1940.
Injunção
Neste tipo de Texto há a indicação de como realizar uma ação; uma tarefa. É também utilizado para predizer acontecimento e comportamentos. Utiliza linguagem objetiva e simples. Os verbos são, em sua maioria, empregados no modo imperativo. Há também o uso do futuro do presente.
Observe:
Diálogo
Texto que traz o intercâmbio entre personagens. Pode conter marcas da linguagem oral, como pausas e retomadas.
Observe:
Não te sentes enlouquecer de prazer?
- Não
Nunca poderei te dar pensamentos de saudades?
- Nunca
Mas já se sentiu tomado por uma chama de amor?
- Não me lembro
Então jamais devo esperar de você um calor ardente?
- Jamais
Incrível. Quem é você?
- Sou assim a rejeição!
Introdução.
Um dos grandes problemas dos concursandos é o fator tempo. Geralmente, perde-se muito tempo com os cálculos matemáticos elementares. Uma dica é trabalhar a multiplicação, quando usaremos todas as quatro operações básicas para multiplicar.
O que no início vai parecer complicado, aos poucos torna-se hábito e, com um treino médio de 10 minutos diários, você dobrará a velocidade dos seus cálculos em poucas semanas. Dica: é que este exercício pode ser realizado enquanto você faz outras coisas.
Regras do exercício:
a. Todos os cálculos deve ser realizados sem auxílio de papel, lápis, caneta ou calculadoras, tudo é realizado mentalmente.
b. Durante os primeiros exercícios, execute-os como em nosso passo-a-passo. Após alguns exercícios, fique à vontade para criar seus próprios passos.
Vamos lá...
Multiplique (de cabeça) 5 x 18... (Demore o quanto quiser)
Atente-se para o tempo que você gastou para realizar a operação.
Agora, vamos ao nosso passo-a-passo:
1. Observe que o se pede é simplesmente quanto resulta de cinco vezes o número dezoito, ou seja: são cinco dezoitos.
2. Assim, um dezoito é 18, dois dezoitos são 36, três dezoitos são 54 e assim por diante.
3. O que se pede é 5 x 18.
1 dezoito + 1 dezoito + 1 dezoito + 1 dezoito + 1 dezoito
4. Com o mesmo raciocínio, quanto seria 10 X 18 ? 180 é a resposta imediata.
5. Se 10 dezoitos são 180, 5 dezoitos são 90, a metade, conclusão óbvia.
6. Daí: 5 x 18 = 90.
Mas o exercício não para por aqui. A partir deste raciocínio vamos agora para a prática. Calculando a partir do entendimento do que significam as quantidades.
Exercício 1. (Nível Fácil) (Tente primeiro sozinho e confira seu tempo)
Multiplicar 12 X 14
Façamos assim:
12 é o mesmo que 10 + 2
Portanto temos 10 catorzes + 2 catorzes
10 catorzes são 140 e 2 catorzes são 28
Somando 140 + 28, obtemos 168, daí: 12 x 14 = 168
(Dica: tente sempre usar multiplicações com os números 2, 5 e 10)
Resolva sozinho agora, usando a técnica, as seguintes multiplicações: (10 x 13; 13 X 12; 15 x 12; 16 X 11) e observe o seu progresso. Não desista. No início é complicado mesmo!)
Exercício 2. (Nível Médio)
Multiplicar 36 x 25 (Tente primeiro sozinho e confira seu tempo)
Façamos assim:
25 = 10 + 10 + 5
10 trinta e seis são 360, portanto 20 trinta e seis são 720.
Se 10 trinta e seis são 360, 5 trinta e seis são 180, a metade.
Portanto: 360 + 360 = 720 + 180 = 900
Daí: 36 X 25 = 900
Resolva sozinho agora, usando a técnica, as seguintes multiplicações: (24 x 30; 42 X 25; 54 x 35; 62 X 15) e observe o seu progresso. Não desista. No início é complicado mesmo!)
Treine pelo menos dez minutos por dia durante uma semana, tornar-se-á um hábito do qual você não poderá mais escapar... Depois você posta os resultados.
Continuaremos com exercícios mais complexos na próxima aula.
Bons estudos,
Professor Ed Borges.